درسنامه آموزشی فصل هفتم ریاضی کلاس هفتم
درس 4: جذر و ریشه
فعالیت (صفحهٔ 93 کتاب درسی)
1- مساحت یک زمین بازی کودکان که به شکل مربع است، برابر 144 متر مربع است. طول ضلع این مربع چند متر است؟ 12
2- یک شرکت برای محوطه سازی، سنگهای مرمر در اندازههای $25\times 50$ سانتیمتر خریده است. این شرکت در مجموع 81 متر مربع سنگ برای این کار خریده است. ضلع بزرگترین مربعی که میتوان با این سنگها ساخت چند متر است؟ 9
3- در جدول زیر طول ضلع تعدادی مربع و مساحت آنها داده شده است. جاهای خالی را کامل کنید.
| 0/9 | 20 | $\frac{11}{6}$ | 7/4 | 9 | $\frac{2}{5}$ | 1/5 | 4 | 3 | طول ضلع |
| 0/81 | 400 | $\frac{121}{36}$ | 54/76 | 81 | $\frac{4}{25}$ | 2/25 | 16 | 9 | مساحت مربع |
در الگوی عددی زیر آیا عدد 15 قرار میگیرد؟ چرا؟
خیر، با توجه به پاسخها عدد 15 متعلق به این مجموعه نیست.
${{1}^{2}},{{2}^{2}},{{3}^{2}},{{4}^{2}},...{{n}^{2}}$
16 ، 9 ، 4 ، 1
با کمک ماشین حساب و راهبرد حدس و آزمایش، عددی پیدا کنید که بتوان به جای x قرار داد.
${{x}^{2}}=15$
$x\simeq 3/9$
کار در کلاس (صفحهٔ 93 کتاب درسی)
جدول زیر را کامل کنید.
| 49 | $\frac{1}{4}$ | 25 | 9 | عدد |
| 7 و 7- | $\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ | 5- ، 5 | 3 و 3- | ریشه دوم |
|
${{7}^{2}}=49$ ${{(-7)}^{2}}=49$ |
${{(\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{1}{4}$ ${{(-\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{1}{4}$ |
${{5}^{2}}=25$ ${{(-5)}^{2}}=25$ |
${{(-3)}^{2}}=9$ ${{3}^{2}}=9$ |
رابطه ریاضی |
کار در کلاس (صفحهٔ 94 کتاب درسی)
1- تساویها را کامل کنید.
$\sqrt{16}=4$
$-\sqrt{16}=-4$
$\sqrt{36}=6$
$-\sqrt{81}=-9$
$\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}$
$-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{9}$
2- کدام یک درست و کدام یک نادرستاند؟ علت نادرستی را توضیح دهید.
نادرست $\sqrt{25} \gt 5$
$5 \gt 5$
درست $\sqrt{25}=5$
$5=5$
نادرست $\sqrt{25}=5\times 2$
$5=10$
نادرست $\sqrt{25}={{2}^{5}}$
$5=32$
نادرست $\sqrt{25}={{5}^{2}}$
$5=25$
نادرست $\sqrt{25}=-5$
$5=-5$
درست $-\sqrt{25}=-5$
$-5=-5$
نادرست $\sqrt{25} \lt 5$
$5 \lt 5$
فعالیت (صفحهٔ 94 کتاب درسی)
1- در شکل زیر، مربعهایی با مساحت 4، 8 و 9 نمایش داده شدهاند. طول ضلعهای مربعها نیز مشخص شده است. با کمک شکل عبارت را کامل کنید.
$\sqrt{9}$$ \lt \sqrt{8} \lt $$\sqrt{4}$
به نظر شما عدد $\sqrt{8}$ به کدام یک از این دو عدد نزدیکتر است؟ $\sqrt{9}$
2- به کمک روش بالا و با توجه به سطر اول جدول زیر، جذر تقریبی عددهای داده شده را به دست آورید و جدول را کامل کنید.
| جذر تقریبی | مربع کامل بعدی | عدد | مربع کامل قبلی |
| $\sqrt{5}$ بین عددهای 2 و 3 است | 9 | 5 | 4 |
| $\sqrt{17}$ بین عددهای 4 و 5 است | 25 | 17 | 16 |
| $\sqrt{61}$ بین عددهای 7 و 8 است | 64 | 61 | 49 |
| $\sqrt{30}$ بین عددهای 5 و 6 است | 36 | 30 | 25 |
کار در کلاس (صفحهٔ 95 کتاب درسی)
1- میخواهیم مقدار تقریبی $\sqrt{28}$ را به دست آوریم.
الف) $\sqrt{28}$ بین کدام دو عدد طبیعی قرار دارد؟ چرا؟
$\sqrt{25} \lt \sqrt{28} \lt \sqrt{36}$
ب ) به کدام یک نزدیکتر است؟ چرا؟ 5: زیرا اختلاف کمتری با آن دارد.
$5 \lt \sqrt{28} \lt 6$
ج) با توجه به جدول زیر جای خالی را کامل کنید:
$5/3$$\sqrt{28}\simeq $
| 5/4 | 5/3 | 5/2 | 5/1 | 5 | عدد |
| 29/16 | 28/09 | 27/04 | 26/01 | 25 | مجذور |
هر مجذوری که به عدد 28 نزدیکتر باشد پاسخ مورد نظر ماست.
2- به همین روش مقدار تقریبی عددهای زیر را به دست آورید.
| 4/5 | 4/4 | 4/3 | 4/2 | 4/1 | عدد |
| 20/25 | 19/36 | 18/49 | 17/64 | 16/81 | مجذور |
$4/5$$\sqrt{20}\cong $
$\sqrt{16} \lt \sqrt{20} \lt \sqrt{25}$
پس عددهای مورد نظر ما بین 4 تا 4/5 باشد.
| 3/9 | 3/8 | 3/7 | 3/6 | 3/5 | عدد |
| 15/21 | 14/44 | 13/69 | 12/96 | 12/25 | مجذور |
$3/7$$\sqrt{14}\cong $
$\sqrt{9} \lt \sqrt{14} \lt \sqrt{16}$
پس عددهای مورد نظر ما بین 3/5 تا 4 باشد.
| 2/9 | 2/8 | 2/7 | 2/6 | 2/5 | عدد |
| 8/41 | 7/84 | 7/29 | 6/76 | 6/25 | مجذور |
$2/8$$\sqrt{8}\cong $
$\sqrt{4} \lt \sqrt{8} \lt \sqrt{9}$
پس عددهای مورد نظر ما بین 2/5 تا 3 باشد.
تمرین (صفحهٔ 95 کتاب درسی)
1- چرا عددهای منفی جذر ندارند؟ یعنی عبارت مقابل بی معناست؟ $\sqrt{-25}=?$
زیرا هیچ عددی را نمیتوان یافت که اگر در خودش ضرب شود مساوی عددی منفی شود.
به عنوان مثال:
$(-5)\times (-5)=(+25)$
$(+5)\times (+5)=(+25)$
2- کدام یک درست و کدام یک نادرستاند؟
نادرست $\sqrt{5} \gt 4$
درست $\sqrt{12} \lt 4$
نادرست $\sqrt{6}$ بین 5 و 7 است
درست $\sqrt{40}$ بین 5 و 7 است
درست $\sqrt{15} \lt \sqrt{21}$
نادرست $\sqrt{3} \gt 2$
3- به جای $\square $ در محور اعداد زیر یکی از عددهای $\sqrt{\frac{9}{4}},\sqrt{4},-\sqrt{1},\sqrt{\frac{1}{4}},\sqrt{1},-\sqrt{4},\sqrt{9}$ و $-\sqrt{9}$ را قرار دهید.
4- جاهای خالی را کامل کنید.
الف) 7 و 7- ریشههای 49 هستند.
ب) مجذور عدد صفر همان صفر است.
ج) اگرعددی صفر نباشد، توان دوم آن همیشه مثبت است.
د) هر عدد مثبت دارای 2 ریشهٔ دوم است که یکی از آنها قرینهی دیگری است.
5- مقدار تقریبی عددهای زیر را به دست آورید.
| 31/9 | 31/8 | 31/7 | 31/6 | 31/5 | عدد |
| 1082/41 | 1075/84 | 1069/29 | 998/56 | 992/25 | مجذور |
$\cong 31/6$$\sqrt{1000}$
$\sqrt{961} \lt \sqrt{1000} \lt \sqrt{1024}$
پس عددهای مورد نظر ما بین 31/5 تا 32 باشد.
| 22/5 | 22/4 | 22/3 | 22/2 | 22/1 | عدد |
| 506/25 | 501/76 | 497/29 | 492/84 | 488/41 | مجذور |
$\cong 22/4$$\sqrt{500}$
$\sqrt{484} \lt \sqrt{500} \lt \sqrt{529}$
پس عددهای مورد نظر ما بین 22 تا 22/5 باشد.
| 5/5 | 5/4 | 5/3 | 5/2 | 5/1 | عدد |
| 30/25 | 29/16 | 28/09 | 27/04 | 26/01 | مجذور |
$\cong 5/5$$\sqrt{30}$
$\sqrt{25} \lt \sqrt{30} \lt \sqrt{36}$
پس عددهای مورد نظر ما بین 5 تا 5/5 باشد.
| 6/5 | 6/4 | 6/3 | 6/2 | 6/1 | عدد |
| 42/25 | 40/96 | 39/69 | 38/44 | 37/21 | مجذور |
$\cong 6/3$$\sqrt{40}$
$\sqrt{36} \lt \sqrt{40} \lt \sqrt{49}$
پس عددهای مورد نظر ما بین 6 تا 6/5 باشد.
مرور فصل 7 (صفحهٔ 96 کتاب درسی)
مفاهیم و مهارتها
در این فصل واژههای زیر به کار رفتهاند. مطمئن شوید که میتوانید با جملات خود آنها را تعریف کنید. برای هر کدام یک مثال بزنید.
- توان
- پایه
- مجذور
- مکعب
- جذر
جذر تقریبی
در این فصل روشهای اصلی زیر مطرح شدهاند. با یک مثال هر کدام را توضیح دهید و در دفتر خود یک خلاصهٔ درس تهیه کنید.
- محاسبهٔ عدد تواندار
- محاسبهٔ یک عبارت تواندار با رعایت ترتیب
- تأثیر پرانتز در محاسبهٔ عبارت تواندار
- محاسبهٔ عبارت تواندار با پایههای منفی
- توان صفر
- قانون ضرب با پایههای مساوی
- استفاده از قانون ضرب با پایههای مساوی در محاسبه
- قانون ضرب با توانهای مساوی
- استفاده از قانون ضرب با پایههای مساوی در تجزیه عددها
- ساده کردن یک عبارت تواندار
- مفهوم مجذور و مکعب
- مفهوم جذر و ریشه
- پیدا کردن جذر یا ریشه عددهای مربع کامل و جذر تقریبی
کاربرد
از این درس در ساده کردن عبارتهای جبری و نوشتن رابطههای ریاضی در محاسبهٔ سطح و حجم استفاده میکنیم.
تمرینهای ترکیبی (صفحهٔ 96 کتاب درسی)
در صورتی که تمرینهای ترکیبی زیر را بتوانید انجام دهید، مطمئن میشوید، این فصل را به خوبی آموختهاید.
1- عبارت تواندار زیر را محاسبه کنید.
$=43$${{({{2}^{3}}+{{0}^{4}})}^{1}}+{{2}^{2}}\times {{3}^{2}}-{{1}^{3}}$
$8+0+36-1=43$
2- عبارت تواندار را تا جایی که ممکن است، ساده کنید.
${{(0/25)}^{2}}\times {{(\frac{1}{4})}^{3}}\times {{(\frac{1}{4})}^{5}}={{(\frac{1}{4})}^{10}}$${{(0/25)}^{2}}\times {{(\frac{1}{4})}^{3}}\times \frac{1}{{{4}^{5}}}=$
${{24}^{2}}\times {{24}^{3}}={{24}^{5}}$${{4}^{2}}\times {{8}^{3}}\times {{6}^{2}}\times {{3}^{3}}=$
3- مقدار تقریبی عدد $\sqrt{32}$ را بنویسید.
| 5/9 | 5/8 | 5/7 | 5/6 | 5/5 | عدد |
| 34/81 | 33/64 | 32/49 | 31/36 | 30/25 | مجذور |
$\sqrt{32}\cong 5/7$
$\sqrt{25} \lt \sqrt{32} \lt \sqrt{36}$
پس عددهای مورد نظر ما بین5/5 تا 6 باشد.
4- ریشههای دوم عدد 121 را بنویسید و تساویهای زیر را کامل کنید. 11 و -11
$7$$\sqrt{49}=$
$-11$$-\sqrt{121}=$
$-5$$-\sqrt{25}=$
$11$$\sqrt{121}=$